Нормальное преобразование и свойства его собственных векторов

Линейный оператор $\mathcal{A}: V \to V$ называется ***нормальным***, если он коммутирует со своим сопряжённым оператором $\mathcal{A}^*$, то есть: $$ \mathcal{A} \mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}^{*} \mathcal{A} $$ Важные классы нормальных операторов: - Самосопряжённые операторы ($\mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}$). - Унитарные (в вещественном случае - ортогональные) операторы ($\mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}^{-1}$).

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный оператор пространства $V$. Если $v$ — собственный вектор $\mathcal{A}$ с собственным значением $\lambda$, то $v$ также является собственным вектором $\mathcal{A}^*$ с собственным значением $\overline{\lambda}$.

Надо показать, что если $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})v = 0$, то $(\mathcal{A}^{*} - \overline{\lambda} \mathcal{E})v = 0$ (где $\mathcal{E}$ — тождественный оператор). Обозначим $\mathcal{B} = \mathcal{A} - \lambda \mathcal{E}$. Тогда $\mathcal{B}^{*} = \mathcal{A}^{*} - \overline{\lambda} \mathcal{E}$. Условие $\mathcal{A}v = \lambda v$ равносильно $\mathcal{B}v = 0$. Условие $\mathcal{A}^*v = \overline{\lambda}v$ равносильно $\mathcal{B}^*v = 0$. Рассмотрим скалярное произведение $(\mathcal{B}^{*}v, \mathcal{B}^{*}v)$. $$ (\mathcal{B}^{*}v, \mathcal{B}^{*}v) = (v, \mathcal{B} \mathcal{B}^{*}v) $$ Вычислим $\mathcal{B} \mathcal{B}^{*}$ и $\mathcal{B}^{*} \mathcal{B}$: $$ \mathcal{B} \mathcal{B}^{*} = (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})(\mathcal{A}^{*} - \overline{\lambda} \mathcal{E}) = \mathcal{A} \mathcal{A}^{*} - \lambda \mathcal{A}^{*} - \overline{\lambda} \mathcal{A} + |\lambda|^2 \mathcal{E} $$ $$ \mathcal{B}^{*} \mathcal{B} = (\mathcal{A}^{*} - \overline{\lambda} \mathcal{E})(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E}) = \mathcal{A}^{*} \mathcal{A} - \lambda \mathcal{A}^{*} - \overline{\lambda} \mathcal{A} + |\lambda|^2 \mathcal{E} $$ Поскольку $\mathcal{A}$ нормален, $\mathcal{A}\mathcal{A}^{*} = \mathcal{A}^{*}\mathcal{A}$, следовательно $\mathcal{B}\mathcal{B}^{*} = \mathcal{B}^{*}\mathcal{B}$. Продолжая, $(\mathcal{B}^{*}v, \mathcal{B}^{*}v) = (v, \mathcal{B}^{*} \mathcal{B} v) = (v, \mathcal{B}^{*}(\mathcal{B}v))$. Так как $\mathcal{B}v=0$ по условию ($v$ — собственный вектор оператора $\mathcal{A}$ с $\lambda$), получаем: $$ (v, \mathcal{B}^{*}(0)) = (v, 0) = 0 $$ Следовательно, $(\mathcal{B}^{*}v, \mathcal{B}^{*}v) = 0$, а значит $\mathcal{B}^{*}v = 0$. Значит, $(\mathcal{A}^{*} - \overline{\lambda} \mathcal{E})v = 0$, что эквивалентно $\mathcal{A}^{*}v = \overline{\lambda} v$. $\square$

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный оператор пространства $V$. Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. То есть, если $x$ — собственный вектор $\mathcal{A}$ с $\lambda$, и $y$ — собственный вектор $\mathcal{A}$ с $\mu$, причем $\lambda \neq \mu$, то $(x,y)=0$.

По определению, $\mathcal{A}x = \lambda x$ и $\mathcal{A}y = \mu y$. Рассмотрим скалярное произведение $(\mathcal{A}x, y)$. $$ (\mathcal{A}x, y) = (\lambda x, y) = \lambda (x, y) $$ С другой стороны, используя определение сопряжённого оператора и предыдущую лемму: $$ (\mathcal{A}x, y) = (x, \mathcal{A}^{*}y) = (x, \overline{\mu} y) $$ Тогда $(\mathcal{A}x, y) = (x, \overline{\mu} y) = \overline{\overline{\mu}} (x, y) = \mu (x, y)$. Получаем: $$ \lambda (x, y) = \mu (x, y) $$ $$ (\lambda - \mu) (x, y) = 0 $$ Поскольку $\lambda \neq \mu$, множитель $(\lambda - \mu) \neq 0$. Следовательно, должно быть $(x, y) = 0$. Таким образом, $x$ и $y$ ортогональны. $\square$